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上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1 将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
分析与解:中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为
21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,
故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4,那么同理可得上页右下图的填法。
例2 将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析与解:本题有三个重叠数,即三角形三个顶点○内的数都是重叠数,并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+…+6)=12。
1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。
如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左下图的填法。容易发现,所填数不是1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不能是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3 将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
分析与解:与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12
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